Задачи: геометрия, центр масс и центр тяжести

#АПО #АПО_математика #геометрия #центр_масс #центр_тяжести

 

Итак, пришло время задач! Первый "задачный" пост - перед вами! Кто решит всё - большой молодец!

 

1.

Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, K, L, M и N - середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите,что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. 

 

2.

Пусть A1, B1, ..., F1 - середины сторон AB, BC, ..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A1C1E1 и B1D1F1 совпадают. 

 

3.

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = a и BL : LC = AN : ND = b. Пусть P - точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = a и KP : PM = b. 

 

4*.

Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника. 

 

5.

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что BA1/A1C = CB1/B1A = AC1/C1B. Докажите, что центры масс треугольников ABC и A1B1C1 совпадают. 

 

6.

На окружности дано n точек. Через центр масс n – 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке. 

 

7.

На прямых BC, CA, AB взяты точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 так, что A1B2|| AB, B1C2|| BC и C1A2|| CA. Пусть la - прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB1 и CC2, BB2 и CC1; прямые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке (или параллельны). 

 

В следующий раз будет ещё одна подборка задач:)