Задачи: центр масс и центр тяжести

#АПО #АПО_математика #геометрия #центр_масс #центр_тяжести

 

А теперь ещё 5 задач, немного посложнее. Решивший всё - герой!)

 

1*.

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке P. Пусть la, lb, lc - прямые, соединяющие середины отрезков BC и B1C1, CA и C1A1, AB и A1B1. Докажите, что прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M - центр масс треугольника ABC.

 

2*.

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:

 

а) A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);

 

б) если P = Q, то MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).

 

3*.

Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть da, db и dc - расстояния от точки P до сторон треугольника, Ra, Rb и Rc - расстояния от нее до вершин. Докажите, что

3(da^2 + db^2 + dc^2) >= (Ra sin A)^2 + (Rb sin B)^2 + (Rc sin C)^2.

 

4*.

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K и L так, что BK : KC = CL : LD. Докажите, что центр масс треугольника AKL лежит на диагонали BD.

 

5*.

Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n2R2.