2016-10-01 01:01:00
#АПО_математика #теорема #теорема_Хелли #выпуклость #геометрия #анализ
Дорогие друзья, с вами снова #АПО_математика! На этот раз мы поговорим про выпуклость, а более конкретно - про классический результат выпуклой геометрии - теорему Хелли. Теорема эта доказана Эдуардом Хелли в 1913 году, а опубликована десятью годами позже. Что же она утверждает?
Теорема Хелли:
Пусть на плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Тогда все n фигур имеют общую точку.
Доказательство:
Докажем теорему индукцией по n. Что интересно, доказательства базы и перехода в данной задаче нетривиальны, используют разные идеи и одинаково важны.
База:
Пусть на плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Тогда и все они имеют общую точку.
Пусть M1, M2, M3, M4 - данные фигуры, A1 - общая точка фигур M2, M3, M4, точки A2, A3 и A4 определяются аналогично. Возможны два варианта расположения фигур:
1. Одна из точек, например A4, лежит внутри треугольника, образованного остальными точками. Так как точки A1, A2, A3 принадлежат выпуклой фигуре M4, то и все точки треугольника A1A2A3 принадлежат M4. Поэтому точка A4 принадлежит M4, а остальным фигурам она принадлежит по своему определению.
2. A1A2A3A4 - выпуклый четырехугольник. Пусть C - точка пересечения диагоналей A1A3 и A2A4. Докажем, что точка C принадлежит всем данным фигурам. Обе точки A1 и A3 принадлежат фигурам M2 и M4, поэтому (в силу выпуклости) отрезок A1A3 принадлежит этим фигурам. Аналогично, отрезок A2A4 принадлежит фигурам M1 и M3. Следовательно, точка C пересечения отрезков A1A3 и A2A4 принадлежит всем данным фигурам.
База доказана.
Переход:
Докажем, что если утверждение верно для n >= 4 фигур, то оно верно и для (n+1) фигуры. Пусть даны выпуклые фигуры F1, …, F(n), F(n+1), каждые три из которых имеют общую точку. Рассмотрим вместо них фигуры F1, …, F(n–1), F(n'), где F(n') является пересечением F(n) и F(n+1). Ясно, что фигура F(n') тоже выпукла. Докажем, что любые три из новых фигур имеют общую точку. Сомнение в этом может возникнуть только для тройки фигур, содержащей F(n'), но из утверждения базы следует, что фигуры F(i), F(j), F(n) и F(n+1) всегда имеют общую точку. Следовательно, по предположению индукции фигуры F1, …, F(n–1), F(n') имеют общую точку, то есть и фигуры F1, …, F(n), F(n+1) имеют общую точку.
Теорема Хелли доказана.
Отметим напоследок, что у теоремы Хелли есть аналоги в пространствах иных размерностей. А именно, справедливо общее
Утверждение:
Пусть в n-мерном евклидовом пространстве R^n дано несколько выпуклых фигур, причем любая (n+1) из них имеют общую точку. Тогда все фигуры имеют общую точку.
