2016-06-07 01:19:00
#АПО_математика #Паскаль #ТеоремаПаскаля
Серия "именных" теорем продолжается! На этот раз - теорема Паскаля, одна из важнейших (и полезнейших) теорем проективной геометрии.
Блез Паскаль - французский математик, механик, физик, литератор и философ, классик французской литературы, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. Что интересно, эту теорему он доказал, когда ему было 16 лет! Но доказательство его не сохранилось.
Приведём современную версию доказательства этой теоремы.
Теорема (Паскаля):
Пусть шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Тогда точки пересечения продолжения1 его противоположных сторон лежат на одной прямой.
Доказательство:
Пусть M - точка пересечения (AB) и (DE), N - точка пересечения (BC) и (EF), P - точка пересечения (CD) и (AF) .
Пусть также Q - точка пересечения (EF) и (CD), R - точка пересечения (AB) и (CD), S - точка пересечения (EF) и (AB) .
По свойству секущих к окружности
QE * QF = QD * QC,
RC * RD = RB * RA,
SE * SF = SB * SA.
Рассмотрим треугольник QRS. Применим теорему Менелая к этому треугольнику и прямой AF:
SA/AR * PR/PQ * QF/FS = 1.
Аналогично, по теореме Менелая для того же треугольника QRS и прямых ED и BC соответственно получим
QE/ES * SM/MR * RD/DQ = 1,
RC/CQ * QN/NS * SB/BR = 1.
Перемножим эти три равенства:
SA/AR * PR/PQ * QF/FS * QE/ES * SM/MR * RD/DQ *
RC/CQ * QN/NS * SB/BR = 1.
QF * QE в числителе сократится с DQ * CQ в знаменателе,
RC * RD в числителе сократится с AR * BR в знаменателе,
SA * SB в числителе сократится с FS * ES в знаменателе.
Теперь RP/PQ * SM/MR * QN/NS = 1.
По теореме, обратной к теореме Менелая, примененной к треугольнику QRS и точкам M, N и P, лежащим на продолжениях его сторон, это равненство означает, что точки M, N и P лежат на одной прямой.
Доказано.
Заметим, что любые шесть точек, лежащих на окружности, определяют 60 различных вписанных шестиугольников, для каждого из которых верна теорема Паскаля. Действительно, для задания такого шестиугольника (не обязательно выпуклого, разумеется), нужно задать порядок следования точек — вершин. Это можно сделать 6! способами. Теперь нужно учесть, что начинать обход мы можем с любой из шести точек, и двигаться можем в двух противоположных направлениях, при этом мы получим один и тот же шестиугольник. Итого: 6!/(6*2)=60 шестиугольников. Таким образом, выпуклость шестиугольника для теоремы не важна, более того, ABCDEF может даже иметь самопересечения как ломаная!
