2016-05-30 01:26:00
#АПО_математика #Наполеон
Интересно, что французский император Наполеон Бонапарт увлекался математикой (в особенности геометрией). К примеру, известен его способ деления окружности на четыре равные части одним лишь циркулем. Более того, в честь этого незаурядного человека названа целая геометрическая теорема!
Правда, в полном соответствии с принципом Арнольда ("Никакое утверждение не называется в честь его первооткрывателя"), эта теорема прямого отношения к императору Франции не имеет: она впервые была опубликована английским математиком Уильямом Резерфордом спустя 4 года после смерти Наполеона, в 1825 году.
Перейдём к, собственно, теореме.
Теорема (Наполеона):
Если на сторонах произвольного треугольника вовне построены равносторонние треугольники, то их центры образуют равносторонний треугольник.
Доказательство:
Пусть на сторонах треугольника АВС построены равносторонние треугольники АВС1, А1ВС и АВ1С. Пусть ω1, ω2 и ω3 – соответственно окружности, описанные вокруг этих треугольников.
Обозначим точку пересечения окружностей, описанных вокруг треугольников А1ВС и АВ1С, как М. Тогда ∠АМС = 180° – 60° = ∠ВМС.
Отсюда ∠АМВ = 360° – 2 · 120° = 120°, и точка М лежит на окружности, описанной вокруг АВС1. Прямые О1О3 и О1О2 перпендикулярны к общим хордам АМ и ВМ окружностей ω1 и ω3, ω1 и ω2 соответственно.
Тогда ∠О1 + ∠АМВ = 180°, ∠О1 = 180° – ∠АМВ = 60°.
Аналогично, ∠О2 = ∠О3 = 60°, и треугольник О1О2О3 – правильный.
Доказано.
Аналогичным образом правильные треугольники можно построить и внутрь данного треугольника. Как и следовало ожидать, их центры тоже образуют правильный треугольник.
