Теорема Менелая

#АПО_математика #геометрия #теорема_менелая

 

И снова #геометрия на #АПО_математика! На этот раз - одна из очень полезных теорем для счёта треугольников. Она также является родоночальницей такого раздела математики, как аффинная геометрия, и имеет близкую родственницу, названную в честь средневекового итальянца! А сама носит имя грека:)

 

Ну что, узнали? 

Конечно, это она - теорема Менелая (spoiler: итальянец - Чева, грек - Менелай Александрийский, математик I в. н. э., а вовсе не легендарный царь Спарты, о котором наверняка в первую очередь подумали знатоки "Илиады"). Что же она гласит? И как доказывается?

 

Теорема Менелая:

 

Если точки A′ , B′ и C′ лежат соответственно на сторонах (или их продолжениях) BC, CA и AB треугольника ABC, то они коллинеарны (лежат на одной прямой) тогда и только тогда, когда

 

AB′/B′C ⋅ CA′/A′B ⋅ BC′/C′A = − 1, где все отношения следует понимать как отношения направленных отрезков.

 

Доказательство:

 

Проведем через точку С прямую, параллельную прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой A'C' . Поскольку треугольники AC'B' и CKB' подобны (по двум углам), то

 

AC′/CK = B′A/B′C.

 

Так как подобными являются также треугольники BC'A' и CKA', то также

 

CK/C′B = A′C/BA′.

 

Исключая CK, получаем

 

AC′/C′B ⋅ BA′/A′C ⋅ CB′/B′A = 1.

 

Остаётся заметить, что возможны два расположения точек A', B' и C': либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем

 

AC′/C′B ⋅ BA′/A′C ⋅ CB′/B′A = -1.