Неравенство Коши-Буняковского-Шварца

#АПО #АПО_математика #неравенство #неравенство_коши-буняковского-шварца #кбш

 

В нашем сегодняшнем выпуске #АПО_математика - очень важное и часто используемое неравенство: неравенство Коши-Буняковского-Шварца (на сленге - КБШ). Оно интересно тем, что имеет далеко идущие обобщения в разных областях математики (впрочем, о них мы сейчас говорить не будем). Итак,

 

Неравенство (КБШ):

 

Для любых положительных x1, ..., xn, y1, ..., yn верно:

 

(x1*y1 + ... + xn*yn)^2 <= (x1^2 + ... + xn^2)*(y1^2 + ... + yn^2).

 

Доказательство:

 

Рассмотрим векторы x = (x1, ..., xn) и y = (y1, ..., yn) в n-мерном евклидовом пространстве. Перепишем неравенство в виде:

 

(x, y)^2 <= (x, x)*(y, y),

 

где (a, b) - скалярное произведение векторов a и b.

 

В силу неотрицательности скалярного квадрата для любого действительного числа c выполняется неравенство

 

(c*x - y, c*x - y) >= 0.

 

Пользуясь линейностью скалярного произведения, перепишем это в виде:

 

(c*x - y, c*x - y) = c*(x, c*x - y) - (y, c*x - y) = c^2*(x, x) - 2c*(x, y) +(y, y) >= 0.

 

Получим квадратный трёхчлен относительно c, который всюду неотрицателен. Значит, его дискриминант неположителен:

 

D = 4*(x, y)^2-4*(x, x)*(y, y) <= 0,

 

откуда

 

(x, y)^2-(x, x)*(y, y) <= 0.

 

Доказано.