Неравенство Йенсена

#АПО_математика #неравенство #неравенство_йенсена

 

Рады представить вам одно из самых полезных для олимпиадника неравенств - неравенство Йенсена! Оказывается, большая часть обыкновенно изучаемых и использующихся в решении задач неравенств выводится из него.

 

Неравенство:

 

Пусть функция f(x) является выпуклой на некотором отрезке [a, b] и числа q1, ..., qn таковы, что q1, ..., qn > 0 и q1+...+qn=1. Тогда каковы бы ни были числа x1, ..., xn из [a, b], выполняется неравенство:

 

f(q1 x1 + ... + qn xn) <= q1 f(x1) + ... + qn f(xn)

 

Доказательство:

 

Докажем неравенство Йенсена методом математической индукции.

 

База:

n = 2. Неравенство следует из определения выпуклости функции.

 

Переход:

Пусть неравенство верно для какого-либо натурального числа n. Докажем, что оно верно и для n+1, то есть

 

f(q1 x1 + ... + qn xn + q{n+1} x{n+1}) <= q1 f(x1) + ... + qn f(xn) +q{n+1} f(x{n+1}).

 

С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых qn xn + q{n+1} x{n+1} одним слагаемым

 

(qn + q{n+1}) * (qn / (qn + q{n+1}) * xn + q{n+1} / (qn + q{n+1}) * x{n+1}).

 

Теперь воспользуемся неравенством для n и установим, что выражение выше не превосходит суммы

 

q1 f(x1) + ... +(qn + q{n+1}) f(qn / (qn + q{n+1}) * xn + q{n+1} / (qn + q{n+1}) * x{n+1}).

 

Наконец, применим к значению функции в последнем слагаемом базу индукции. 

 

Этот шаг доказывает неравенство Йенсена.

 

Замечание: Если функция f(x) вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.

Изучив прикреплённый pdf-файл, вы можете больше узнать про неравенство Йенсена, а также увидеть, как выводить из него другие неравенства (Коши, Бернулли и т. д.).