2017-06-30 22:23:08
Теоретическая часть.
Неравенства являются одним из самых главных разделов олимпиадной математики. На различных олимпиадах всегда найдется одна задача ровно на неравенства и еще парочка, где их нужно как-то косвенно использовать. Поэтому сейчас хочется поговорить именно о них.
Существует много интересных неравенств, но мы остановимся на наиболее важных.
Итак, неравенство Бернулли. Чрезвычайно полезное в решении разных олимпиадных задач неравенство, позволяющее оценивать ваше выражение, представленное в виде многочлена \(n\)-ой степени многочленов первой.
Оно формулируется следующим образом:
При любом натуральном \(n\) и любом \(x > -1\) имеет место неравенство Бернулли:
\((1 + x)^n ≥ 1 + nx\);
Доказательство:
Докажем это неравенство методом математической индукции.
База.
При \(n = 1\) неравенство, очевидно, верно.
Предположение.
Пусть это неравенство верно при \(n\).
Переход.
Докажем это неравенство для \(n + 1\). Для этого умножим обе части нашего неравенства \((1 + x)^n ≥ 1 + nx\) на положительную скобку \((1 + x)\). Она положительна, так как \(x\) удовлетворяет условию \(x > -1\). Тогда наше неравенство преобразится в:
\((1 + x)^{n + 1} = (1 + x)^n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx^2 + nx + x > 1 + nx + x = 1 + (n + 1)x\);
Что и требовалось доказать.
Мы рассматривали неравенство только для натуральных \(n\), но можно сформулировать и обобщенное неравенство Бернулли.
Неравенство утверждает, что при \(x > -1\) и любом вещественном \(n\):
- Если \(n ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞)\), то \((1 + x)^n≥ 1 + nx\);
- Если \(n ∈ (0; 1)\), то \((1 + x)^n≤ 1 + nx\);
Доказать это обобщенное неравенство предоставляется читателю.
Данное неравенство очень часто используется как вспомогательный инструмент в решении задач.
Практика.
Посмотрим, как поможет нам это неравенство в решении задач. Разберем задание с отборочного этапа довольно популярной олимпиады «Покори Воробьевы Горы».
Задача:
Решить уравнение в вещественных числах: \(\sqrt[4]{1-x} \ + \sqrt[4]{1+x} = 4\).
Решение:
Применим к левой части уравнения обобщенное неравенство Бернулли для каждого из слагаемых. Получим:
\(4 = \sqrt[4]{1-x} \ + \sqrt[4]{1+x} ≤ 1 - {1 \over 4}x + 1 + {1 \over 4}x = 2\).
Получили противоречивый результат \(4 ≤ 2\). Полученное доказывает, что у этого уравнения нет вещественных решений.
Ответ: действительных корней нет.
Такое вот получилось короткое и очень простое решение с помощью неравенства Бернулли.
Рассмотрим еще одно задание, которое когда-то было на олимпиаде «Ломоносов», кажется, тоже на отборочном этапе.
Задача:
Доказать неравенство: \(({n^2 \over n^2 - 1})^n < {n \over n-1}\), где \(n > 1\) и натуральное;
Доказательство:
Посмотрим на представленное неравенство. Поначалу не совсем понятно, как к нему подступиться и что использовать для его доказательства. Но давайте попробуем просто «перевернуть» выражение.
Итак, получим: \(({n^2 - 1 \over n^2})^n > {n-1 \over n}\);
После такого легкого преобразования мы можем разбить наши дроби на очень хорошие суммы.
Итак, эквивалентное неравенство: \((1 - {1 \over n^2})^n > 1 - {1 \over n}\);
Но это неравенство и является неравенством Бернулли для левой части доказываемого. В итоге мы доказали необходимое.
Задача решена.
Важный вывод из статьи.
Неравенство Бернулли часто недооценивается школьниками, на чем регулярно и «играют» составители олимпиадных задач. Поэтому я бы посоветовал повторить это замечательное неравенство перед тем, как идти на олимпиаду.
Немного задач для самостоятельного решения.
Пусть натуральное число \(n ≥ 3\). Доказать, что \(\sqrt[n]{n} > \sqrt[n+1]{n + 1}\).
