Лемма о трезубце

#АПО_математика #ЛеммаОТрезубце #Трезубец #Тризуб

 

#Геометрия на #АПО возвращается! На сей раз - не очень сложное, но крайне полезное утверждение, у которого очень много названий. Более-менее общепринятыми являются "лемма о трезубце", "теорема о трилистнике", "лемма о куриной лапке", особо искушённые употребляют название "лемма Мансиона". Всё это говорит о популярности данного сюжета в геометрии. О чём же он?

 

Теорема:

Пусть в треугольнике ABC биссектриса к стороне AB пересекает описанную окружность в точке L. Тогда выполняется равенство

LB = LI = LC = LIa,

где I — центр вписанно окружности, Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC.

 

Доказательство:

 

Пусть I — центр вписанной окружности. Под ∠A , ∠B будем понимать ∠BAC , ∠ABC соответственно. Если луч AI пересекает описанную окружность в точке L, то L является средней точкой дуги BC, отрезок AL является биссектрисой угла ∠A. Проведя отрезок BI, заметим, что ∠BIL = ∠A/2 + ∠B/2, потому что ∠BIL внешний в △AIB, а также ∠LBI = ∠LBC + ∠CBI = ∠A/2 + ∠B/2, потому что ∠LBC и ∠LAC = ∠ A/2 равны, так как опираются на одну дугу LC.

 

Значит, △BLI равнобедренный, то есть BL = LI. Равенство CL = BL следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол ∠A/2. Таким образом, BL = LI = LC . Теперь докажем что «ручка» трезубца LIa равна этой же величине.

 

Продлим сторону AB за точку B и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку E. Под ∠A будем понимать ∠BAC, под ∠B будем иметь в виду угол ∠EBC = 180 − ∠ABC. Тогда нам нужно понять, что △ BLIa равнобедренный, то есть, что ∠LBIa = ∠LIaB.

 

С одной стороны, ∠LBIa = ∠B/2−∠A/2.

С другой стороны, ∠EBIa = ∠A/2 + ∠BIaA, так как ∠EBIa внешний в △BIaA , то есть ∠B/2 − ∠A/2 = ∠BIaA.

 

Итак, лемма о трезубце доказана.