2016-10-20 00:50:00
#АПО #АПО_математика #геометрия #центр_масс #центр_тяжести
#АПО_математика снова с вами, друзья!
Продолжаем сюжет про геометрию масс.
Теорема, полезная для решения задач про массы и вообще для практического применения построенной теории - теорема о перегруппировке масс.
Теорема:
Пусть S = {(X1, a1), ..., (Xn, an), (Y1, b1), ..., (Ym, bm)} - система материальных точек с центром масс O. Тогда, если заменить часть точек системы на их центр масс, и приписать ему массу, равную сумме масс заменённых точек, то центр масс системы не изменится. Другими словами, система S' = {(X1, a1), ..., (Xn, an), (Y, b1+...+bm)}, где Y - центр масс системы {(Y1, b1), ..., (Ym, bm)}, тоже имеет центр масс O.
Доказательство:
Из определения центра масс,
a1*OX1+...+an*OXn+b1*OY1+...+bm*OYm = 0,
b1*YY1+...+bm*YYm = 0.
Вычтем из первого равенства второе. Будем иметь:
a1*OX1+...+an*OXn+b1*(OY1-YY1)+...+bm*(OYm-YYm) = 0,
то есть
a1*OX1+...+an*OXn+(b1+...+bm)*OY = 0.
Это по определению и означает, что O - центр масс системы точек S'.
Доказано.
Эта теорема, как уже было отмечено, позволяет решать многие задачи с помощью геометрии масс. Хотите попробовать свои силы? В следующий раз будут задачи!
