2016-10-19 00:52:00
#АПО #АПО_математика #геометрия #центр_масс #центр_тяжести
Друзья, не кажется ли вам, что пришло время чего-то большего, чем отдельные теоремы (пусть и очень полезные, пусть и с доказательствами)?
Вот и мы думаем так же! И поэтому объявляем первый "длительный сюжет": геометрию масс.
Многие из вас слышали о понятии "центр масс", знают, что его активно используют физики. В математике такое понятие тоже есть! Давайте познакомимся с ним (и подоказываем теоремки, куда же без этого!).
Итак, материальной точкой в математике называется пара (X, m), где X - точка на плоскости (или, вообще говоря, в n-мерном евклидовом пространстве), а m - действительное число (мы не накладываем на него никаких условий - массы у нас бывают отрицательными).
Центр масс множества материальных точек S= {(X1, m1), ..., (Xn, mn)} - точка O такая, что m1*OX1+...+mn*OXn = 0 (здесь и далее обозначение AB следует воспринимать как вектор с началом A и концом B, а все суммы - как суммы векторов). Важное условие, которое мы накладываем на систему S - сумма m1+...+mn не должна быть равна 0.
Вот такое, на самом деле, естественное и незамысловатое определение. Конечно, нужно ещё проверить его корректность - совершенно не ясно, почему такая точка O существует. Также мы докажем, что эта точка единственна.
Пусть X и O - произвольные точки. Тогда m1*OX1+...+mn*OXn = (m1+...+mn)*OX+m1*XX1+...+mn*XXn. Поэтому точка O является центром масс системы S тогда и только тогда, когда для любой точки X
(m1+...+mn)*OX+m1*XX1+...+mn*XXn = 0,
то есть
XO = 1/(m1+...+mn)*(m1*XX1+...+mn*XXn).
Если теперь взять в качестве точки X начало координат, то данное условие однозначно определяет координаты точки O, а в силу вышеприведённой равносильности такая точка O действительно является центром масс.
Итак, теорема о существовании и единственности центра масс доказана (кстати, где именно мы пользовались тем, что сумма масс точек не равна 0?).
В следующий раз будет доказана очень полезная теорема про центр масс - а потом будут задачи!)
