Силы вязкого трения

 2017-04-09 23:31:00      

Назад ко всем статьям

Знакомство с силами трения начинается ещё в школе. Наиболее подробно в рамках школьной программы изучается сухое трение, то есть трение, возникающее при взаимодействии двух сухих поверхностей твёрдых тел. С опорой на характер перемещения тел на уроках физики разбираются трение покоя и трение скольжения, закон Кулона – Амонтона (\(F_ {\textit{тр} \ \textit{скол}} = μN\)). При рассмотрении движения твёрдого тела приходится иметь дело с силой трения качения, обусловленной деформацией касающихся тел.

Из-за трудности материала меньше всего внимания уделяется силам вязкого трения. Вместе с тем посвящённые этому виду трения задачи нередко встречаются на олимпиадах, так что сегодня хотелось бы сосредоточиться именно на нём. В статье содержатся теоретические сведения о вязком трении (в том числе о механизме его возникновения), а также приведены типичные олимпиадные задачи по теме и их решение.

Что нужно знать на олимпиаде?

Трение между твёрдым телом и жидкостью или газом называется жидким (вязким) трением. Сформулируем основные особенности вязкого трения:

1. При движении тела в вязкой среде отсутствует сила трения покоя. Причина этого – в механизме возникновения вязкого трения. Сила трения покоя при сухом трении обусловлена микроскопическими неровностями соприкасающихся тел. При небольшом относительном смещении они сцепляются друг с другом из-за межатомных взаимодействий в месте контакта. Вязкое трение возникает при относительном смещении слоёв жидкости или газа, поэтому никакого «начального» сопротивления тут не появляется.

2. Силы трения всегда стремятся сравнять скорости соприкасающихся тел, и вязкое трение здесь не исключение. При нём происходит передача импульса от слоя жидкости, движущегося с большей скоростью, молекулам жидкости более медленного слоя, в результате чего скорость последнего увеличивается, и в то же время - обратный процесс, переход «медленных» молекул в соседний быстро движущийся слой, что приводит к уменьшению его скорости.
Явление вязкости, как одно из явлений переноса, отнюдь не механическое, объяснение ему даёт молекулярная физика. Ближайший к телу, поверхностный, слой жидкости, с одной стороны, участвует в обмене импульсом с остальными слоями, а с другой, обладает скоростью, равной скорости тела. Таково простейшее объяснение явления вязкого трения.

3. Из опыта известно, что при малых скоростях движения тела относительно вязкой среды сила сопротивления пропорциональна относительной скорости, а при больших скоростях – пропорциональна её квадрату:

\(F_{\textit {тр}} = -αv\);        \(F_{\textit {тр}} = -βvv\).

Эти соотношения часто помогают при решении задач. Как правило, в условии непосредственно приводится запись одного из указанных законов, коэффициенты пропорциональности изначально известны или могут быть найдены на основе условия. К коэффициентам \(α\) и \(β\) нужно относиться как к заданным, экспериментально определённым постоянным, в результате каких-либо рассуждений их получить нельзя!

Механизм возникновения вязкого трения и основные закономерности

Представим для определённости, что рассматриваемое твёрдое тело покоится, а его обтекает поток жидкости или газа. Силы воздействия потока на твёрдое тело всегда можно привести к одной результирующей силе. Результирующую силу всегда можно разложить на две составляющие, две силы, которые перпендикулярны друг другу: одну – направленную по потоку (сила лобового сопротивления), вторую – перпендикулярную ему. Для симметричных тел, расположенных так, что их ось симметрии направлена по потоку, сила воздействия потока, очевидно, направлена тоже по потоку; на эти тела действует только сила лобового сопротивления.

Чем же определяется сила лобового сопротивления? Она зависит от формы, от размеров тела, от скорости потока и от физических свойств жидкости. Опыты показывают, что сила сопротивления тел одинаковой формы пропорциональна площади поперечного сечения тела (поперечного по отношению к направлению скорости потока \(v\)), скоростному напору \(ρv^2\over2\) и некоторому коэффициенту \(C_x\), называемому коэффициентом лобового сопротивления тела данной формы.

Коэффициент лобового сопротивления, вообще говоря, не остаётся постоянным, он зависит от величины числа Рейнольдса \(Re = {ρvl \over μ}\), где \(l\) – характерный размер тела, \(v\) – скорость потока, \(ρ\) – плотность жидкости и \(μ\) – коэффициент вязкости жидкости. Число Рейнольдса – величина, позволяющая сравнивать движение различных объектов, имеющих разные характеристики. Его физический смысл – отношение силы инерции к силе трения:

На олимпиадах по физике число Рейнольдса можно встретить в задачах экспериментальных туров. В заданиях чаще всего требуется найти это число и оценить с его помощью характер течения жидкости: ламинарный или турбулентный. При ламинарном течении жидкость перемещается слоями без перемешивания. При турбулентном течении слои жидкости перемешиваются и возникают вихри, закручивания.

Рис. 1. Турбулентное и ламинарное течение жидкости.

На рис. 2 показана кривая зависимости коэффициента лобового сопротивления \(C_x\) от числа \(Re\) для тела, представляющего собой шар. Так как число Рейнольдса пропорционально скорости потока, то при небольших значениях этого числа, примерно до \(Re ≈ 100\), сила сопротивления также пропорциональна скорости потока. По мере возрастания \(Re\) сначала наступает «переходный момент», после чего коэффициент лобового сопротивления на время перестаёт варьироваться, сохраняя на определённом участке постоянный показатель; это говорит о том, что сила сопротивления становится пропорциональна квадрату скорости потока. Наконец где-то при \(Re ≈ 1,5 \cdot 10^5\) коэффициент \(C_x\) резко изменяет своё значение и далее остаётся примерно постоянным.

График зависимости величины силы сопротивления \(F\) от скорости \(v\) для шара показан на рис. 3. Область а – область линейной зависимости, область б – первая область квадратичной зависимости, в – вторая область квадратичной зависимости.

Таким образом, мы видим, что законы, которые используются в олимпиадных задачах, связанных с силами вязкого трения, действительно работают.

При очень малой скорости потока наблюдается плавное, безотрывное движение жидкости около тела. В нижней части рис. 1 изображены линии тока, образующиеся вокруг цилиндра при плавном обтекании. При увеличении скорости обтекания ситуация принципиально меняется (см. верхнюю часть рис. 1). Линии тока перестают замыкаться за цилиндром и «отрываются» от него, формируя за телом сильно завихрённое пространство; обтекание происходит с отрывом трубок тока от тела. Более того, линии тока отделяются и от общего потока. В пространстве за цилиндром имеется завихрённая область, в которой уже нельзя увидеть линий тока, так как она резко покидает область регулярного течения, характеризующуюся чёткими линиями. В связи с этим в рассматриваемом случае нет симметрии давления, действующего на тело со стороны потока сзади и спереди. Спереди наблюдается примерно та же картина, что и при плавном обтекании: давление в критической области и вблизи неё больше статического на величину порядка \(ρv^2\over2\), т.е. величину динамического напора. Позади же цилиндра (где линии тока, оторвавшись от тела, сначала идут более прямолинейно), в зоне завихрения, давление при турбулентном движении жидкости всегда меньше, чем перед телом, оно примерно равно статическому давлению в невозмущённом потоке.

В общем случае обтекания любого тела жидкостью отрыв потока вызывает такое перераспределение давления на поверхности тела, при котором результирующая сила не равна нулю и поток жидкости, не обладающей вязкостью, действует на тело с определённой силой.

В потоке вязкой жидкости по касательной к поверхности тела, как мы знаем, действует сила, тянущая тело в направлении потока. Даже если обтекание вязкой жидкостью и безотрывное, при нём, несмотря на симметрию потока, всё равно имеет место сила лобового сопротивления, слагающаяся из касательных сил вязкости.

Таковы основные механизмы возникновения и действия сил вязкого трения.
 
Олимпиадные задачи с решением
 
Задача 1 (ЗЭ ВсОШ 1998, 10 класс)
Тело массой \(m\) бросают вертикально вверх с поверхности Земли, вдоль которой с постоянной скоростью \(u\) дует ветер. Сила сопротивления воздуха пропорциональна его скорости и равна \(F = -kv\). Через время \(τ\) тело возвращается на землю на расстоянии \(s\) от точки бросания с вертикальной составляющей скорости, которая на \(Δv\) меньше стартовой скорости. Найдите работу сил трения о воздух за всё время полета.
 
Решение
При подбрасывании вверх тело под действием ветра смещается по горизонтали вдоль оси \(X\) (см. рис.), причём его движение описывается как:
\(m{∆v_{xi}}=k(u-v_{xi}){∆t_i}\). 
Движение тела вверх по вертикали происходит в соответствии с уравнением:
\(m{∆v_{yi}}=-(kv_{yi}+mg){∆t_i}\),
а движение в обратном направлении – со следующим:
\(m{∆v_{yi}}=(-kv_{yi}+mg){∆t_i}\).
Суммируя приведённые выражения по всем \(i\), получаем:
\(mv_{x1}=kuτ-ks\),
\(-mv_{y0}=-kH-mgτ_1\),
\(-mv_{y1}=-kH+mgτ_2\),
где \(τ_1\) - время подъёма тела, \(τ_2 \) - время его падения на землю, \(v_{y0}\) – начальная скорость тела, a \(v_{xl}\) и \(v_{yl}\) - горизонтальная и вертикальная проекции конечной скорости.
Значит,
\((v_{y1}+v_{y0})=g(τ_1+τ_2)=gτ\),
\(v_{x1}={kuτ \ - \ ks \over m}\).
Работа силы трения равна изменению кинетической энергии тела:
\(A={mv_{y0}^2 \over 2}-{m(v_{y1}^2 \ + \ v_{x1}^2) \over 2}={m \over 2}{∆vgτ}-{1 \over 2} {k^2 \over m}(uτ-s)^2\).
 
Задача 2 (ЗЭ ВсОШ 1996, 10 класс)
Тело брошено под углом к горизонту с высокого обрыва. Из-за сопротивления воздуха время подъёма тела до наибольшей высоты и время падения до точки \(A\), находящейся на линии горизонта, которая проходит через точку \(O\) старта, отличаются на \(τ\). В той же точке \(A\) горизонтальная составляющая скорости тела равна \(v_{\textit гA}\), а вертикальная составляющая на \(Δv\) меньше вертикальной составляющей скорости в точке \(O\) старта. На какую высоту \(H\) от линии горизонта поднялось тело, если наибольшее удаление его по горизонтали от точки \(A\) за время полета составило \(ΔL_0\)? Сила сопротивления движению тела в воздухе прямо пропорциональна его скорости.
Решение
Рассмотрим сначала движение тела по вертикали. За малый промежуток времени \(Δt\) изменение импульса тела составит:
\(m{∆v_\textit {в}}=-mg{∆t}-kv_\textit {в}{∆t}=-mg{∆t}-k{∆H}\),
где \(k\) – коэффициент пропорциональности для силы сопротивления воздуха.
Когда тело достигнет верхней точки своей траектории, изменение его импульса будет равно:
\(-mv_{\textit в \ 0}=-mgt_1-kH\).  
При движении тела вниз от верхней точки траектории до точки \(A\) его импульс изменится согласно формуле:
\(mv_\textit {вA}=mgt_2-kH\).
Сложив записанные уравнения, получим:
\(-m{∆v}=mgτ-2kH\),
где
\(τ=t_2-t_1\),  \(∆v=v_{\textit в \ 0}-v_\textit{вA}\). 
Отсюда:
\(H={m \over k} {gτ \ + \ ∆v \over 2}\).
Рассмотрим теперь движение тела по горизонтали.
Изменение горизонтальной составляющей импульса тела \(Δv_\textit г\) равно импульсу силы сопротивления воздуха:
\(m{∆v_\textit г}=-kv_\textit г\ {∆t}=-k{∆L}\),
где \(ΔL\) – малое смещение тела по горизонтали. Когда тело достигнет точки \(A\), изменение горизонтальной составляющей импульса составит (по модулю):
\(mv_{\textit г \ 0}-mv_{\textit гA}=kL_A\),
где \(L_A\) – расстояние между точками \(A\) и \(O\). При максимальном удалении от точки \(O\), когда горизонтальная составляющая скорости станет равной нулю, полное изменение импульса тела будет равно:
\(mv_{\textit г \ 0}=kL_{max}\).
Отсюда получаем:
\({m \over k}={∆L_0 \over v_{\textit гA}}\),
где \(∆L_0 = L_{max} \ – \ L_A\). Следовательно,
\(H={∆L_0 \over 2v_{\textit гA}}(gτ+∆v)\).
 
Задача 3 (ЗЭ ВсОШ 2014, 9 класс)
«На балконе»
Экспериментатор Глюк бросает шарик от пинг-понга массой \(m\) с балкона 17 этажа вертикально вверх со скоростью \(v_0\). При полёте на шарик действует сила сопротивления, прямо пропорциональная скорости. Перед падением на землю шарик двигался с постоянной скоростью \(v_2\). Найдите скорость шарика \(v_{max}\), при которой его кинетическая энергия меняется быстрее всего в процессе движения.
  
Решение
Скорость изменения кинетической энергии тела – это мощность приложенных к нему сил. На шарик действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. По условию сила сопротивления пропорциональна скорости:
\(\overrightarrow {F_\textit с}=-α \overrightarrow v\).
Суммарная мощность сил, приложенных к шарику, равна:
\(N=(m \overrightarrow g+ \overrightarrow {F_\textit с}) \cdot \overrightarrow v=mgv-αv^2\),
где \(v\) – проекция скорости шарика на ось, направленную вертикально вниз.
При падении шарик будет ускоряться, пока сила сопротивления не уравновесит силу тяжести. Зная скорость установившегося движения \(v_2\), найдём коэффициент \(α\), записав для шарика второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вертикально вниз, и приравняв ускорение к нулю:
\(0=mg-αv_2\),
откуда
\(α={mg \over v_2}\).
В процессе движения скорость \(v\) изменяется от \(–v_0\) до \(v_2\).
Для мощности \(N\) справедливо выражение:
\(N= {{mgv_2 \over 4}- {mg \over v_2}(v-{v_2 \over 2})}^2\).
График этой зависимости мощности от скорости – парабола с вершиной в точке \(v_1 = {v_2 \over 2}\), показанная на рисунке:
Как видно из графика, максимальная (по модулю) скорость изменения кинетической энергии достигается либо при \(v = v_1\), либо при \(v = −v_0\). В первом случае мощность равна:
\(N_1= {mgv_2 \over 4}\),
во втором:
\(N_2= {mgv_2 \over 4}- {mg \over v_2} (v_0+ {v_2 \over 2})^2\).
Сравнив \(N_1\) и \(N_2\), найдём:
\(v_к= {\sqrt2-1 \over 2} v_2\).
При \(v_0 < v_к\) мощность \(N_1 > N_2\) и, следовательно, \(v_{max} = v_1\);
при \(v_0 > v_к\), наоборот, \(N_2 > N_1\) и \(v_{max} = v_0\);
при \(v_0 = v_к\) верны оба варианта.
 

Список литературы

  1. Буховцев Б.Б. Вязкое трение // Квант. – 1987. – №3.
  2. Козел С.М., Слободянин В.П. Всероссийские олимпиады по физике. 1992-2001.
  3. Стрелков С.П. Механика. – М., 1975. – § 112.
  4. Архив задач Всероссийской олимпиады на сайте 4ipho.ru.