2017-04-02 19:12:00
Во многих задачах вопрос ставится так: «Найти период колебаний системы». Мы сможем ответить на этот вопрос в большинстве случаев. Но для начала стоит сказать, что есть ряд ограничений, которые необходимы при решении задач указанного типа. А именно, мы будем рассматривать колебания малой амплитуды, поскольку при больших амплитудах не всегда можно использовать приблизительные данные и придётся разбирать более сложные уравнения, требующие более сильного математического аппарата. Также, по-прежнему исходя из рациональности вычислений, мы остановим внимание только на гармонических и незатухающих колебаниях.
Второй закон Ньютона
Формулировка закона:
В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.
Обычно этот закон записывается в виде формулы:
\(\overrightarrow{a} = {\overrightarrow {F}\over m}\) (1),
где \(\overrightarrow {a}\) – ускорение тела, \(\overrightarrow {F}\) – сила (сумма сил), приложенная к телу, \(m\) – масса тела.
Решение задач
Задача 1.
Итак, предположим, что в некой задаче нас просят найти период малых колебаний груза массой \(m\), который подвешен на пружине с жёсткостью \(k\) и на который не действует гравитация Земли (см. рисунок 1). Решение будет аналогичным, если мы представим, что груз не подвешен, а лежит на столе и скользит по нему без трения.
Рис. 1.
Решение:
Понятное дело, колебания сами по себе не возникнут. Что-то должно подействовать на груз. Будем считать, что мы собственноручно взяли и сдвинули его на некоторое малое по величине \(dy\) (в нашем понимании это то же самое, что и сдвиг \(Δy\) или амплитуда \(y_m\)) вдоль оси \(Oy\) (которую мы, по условию, направим вертикально вниз), поскольку именно вдоль этой оси будут происходить колебания.
Теперь приступим непосредственно к решению и примем положение равновесия груза за нулевое. Тогда, что следует из физического смысла производной, ускорение тела (ускорение направлено вертикально, по оси) будет являться второй производной координаты по оси \(Oy\), т.е.: \(a = \ddot{y}\) (2).
При малейшей деформации пружины на тело сразу начнёт действовать сила упругости \(F _ \textit {упр} = ky\) самой пружины (она зависит от степени растяжения пружины и от её жёсткости), которая всегда будет стараться вернуть пружину в исходное положение. Поскольку в задаче учитывать силу тяжести не надо, торезультирующая сила, действующая на груз, по модулю будет равна \(F = F _ \textit {упр} = ky\) (3); по направлению сила упругости всегда противоположна ускорению тела.
Записывая (1) в проекциях на ось \(Oy\) и учитывая (2) и (3), получаем:
\(F = F _\textit{упр} = ky = ma = -m \ddot {y}\)
Отсюда выводим дифференциальные уравнения колебаний:
\(m\ddot{y} + ky = 0\)
\(\ddot {y}+ {k \over m} y=0\)
Корень из коэффициента, стоящего перед \(y\), есть циклическая частота колебаний: \(ω^2={k \over m}\).
Она связана с периодом колебаний: \(T = {2π \over ω} = {2π \sqrt {m \over k}}\).
Частным решением этого уравнения будет:
\(y= y_m \cdot cos (ωt+φ_0)\),
\(y_m\) – амплитуда колебаний по оси \(Oy\),
\(φ_0\) – начальная фаза,
\(t\) – время, прошедшее после начала отсчёта.
Обычно значения \(y_m\) и \(φ_0\) определяют из начальных условий. Так, например, в рассматриваемой задаче значение координаты \(y = y_m\) в момент времени \(t = 0\) объясняется выбранным нами ходом действий (мы сдвинули грузик вниз на \(dy = y_m\)).
Подставим в приведённую выше формулу известные нам величины:
\(y = y_m \cdot cos(0+φ_0)\)
\(cos(φ_0)=1\)
\(φ_0 = 0\)
Выходит, что движение нашего груза можно описать всего лишь одним уравнением: \(y = y_m \cdot cos (\sqrt {{k \over m} t})\).
Задача 2.
Разберём теперь более сложную задачу. Условие такое: масса груза равна \(m\), жёсткость верхней пружины – \(k_1\), а нижней – \(k_2\). Найти нужно период малых колебаний тела и уравнение движения системы, изображённой на рисунке.
Рис. 2.
Решение:
Колебания здесь, как и в задаче 1, происходят вдоль вертикальной оси \(Oy\), однако теперь на груз действует постоянная сила \(mg\), направленная вниз, и пружин тут две.
Для начала снова сдвинем грузик вниз на небольшое расстояние. Тогда обе пружины деформируются: верхняя будет растянута и будет тянуть груз вверх с силой \(F_ \textit {упр1} = k_1y\), а вторая сожмётся и тоже станет толкать груз вверх с силой \(F _ \textit {упр2} = k_2y\). Обе силы будут направлены в одну сторону – против ускорения.
Второй закон Ньютона, записанный через проекции на ось \(Oy\), будет выглядеть так:
\(k_1y+k_2y-mg=-m \ddot y\)
Приведём это выражение к стандартной форме дифференциального уравнения:
\(\ddot y+ {k_1 \ + \ k_2 \over m} y=g\) (4)
Аналогично первой задаче, \(ω^2={k_1 \ + \ k_2 \over m}\),
\(T = {2π \over ω} = {2π \sqrt {m \over k_1 \ + \ k_2}}\).
Частное решение уравнения (4):
\(y = y_m \cdot cos(ωt+φ_0)+ {g \over ω^2}\)
Замечание! Как видно из вышесказанного, период колебаний не зависит от того, действуют ли на груз постоянные силы, такие как сила тяжести. Вместе с тем их обязательно надо учитывать, потому что они создают сдвиг по координате на постоянную величину.
P.S. В данном пособии не рассматриваются точные математические решения дифференциальных уравнений, поскольку школьникам они не нужны. Здесь указаны лишь частные решения, которые помогают ответить на вопросы из наиболее часто встречающихся в олимпиадах задач на колебания.
Список литературы
