Метод векторных диаграмм

Сегодня рассмотрим несколько нестандартный и иногда существенно упрощающий решение метод векторных диаграмм.

Все уравнения кинематики в хорошем учебнике физики будут приведены в векторном виде. Но, решая задачи, мы обычно записываем их же в проекциях на оси координат и получаем вместо одного изящного уравнения большую систему. Это полезно либо в простейших случаях, либо в отдельных трудоёмких задачах. Существует обширный класс задач, в котором такой подход окажется неоптимальным, а помочь сможет геометрическое описание. Поскольку у этих задач «правильным» методом решение получается очень красивым и достаточно коротким, они часто появляются на олимпиадах разного уровня. Будем рассматривать случай свободного падения тел в поле тяжести в отсутствие сопротивления воздуха. Схематично он может быть изображен таким образом:

Основные соотношения кинематики, записанные в векторном виде: 

Здесь v0 – начальная скорость тела, v - его скорость в рассматриваемый момент времени, t - время, g – ускорение свободного падения, s - вектор перемещения тела. Если Вам не очевидно, как эти уравнения получены из уравнений классического вида, в качестве полезного упражнения рекомендуем получить их самостоятельно.

Методом используются два ключевых векторных треугольника: скоростей и перемещений:

 

Построим векторный треугольник скоростей:

Отложим вектор v0 под неким начальным углом α к горизонту, к его концу пририсуем вектор gt, направленный вертикально вниз. Сумма этих двух векторов по уравнению (1) даст нам вектор v. 

Чтобы построить векторный треугольник перемещений, параллельно v0 отложим вектор v0t. К его концу добавим вектор . В соответствии с уравнением (2), получим вектор s как их сумму.

Посмотрим на рисунок внимательнее: высота, опущенная к вертикальной стороне, - смещение тела по горизонтали или, как её обычно называют, дальность полета L.  α – по-прежнему, угол броска к горизонту. Катет, противолежащий углу α, - смещение по вертикали h.

Вернемся к треугольнику скоростей. Из (2) следует:

Значит, - медиана, проведенная к вертикальной стороне треугольника перемещений. Это соответствует и уравнению (4), где отвечает медиане треугольника, построенного на векторах скоростей.

Из соображений подобия и сравнивая два треугольника, получаем, что высота, проведенная к той же стороне, равна , а катет верхнего прямоугольного треугольника, противолежащий углу α, равен .

Таким образом, нам удалось объединить два ключевых треугольника и выразить основные соотношения кинематики геометрически. Выделим некоторые частные случаи и возникающие свойства треугольников:

1. Если v0⊥v, то треугольник скоростей получается прямоугольным, а значит, медиана  равна половине гипотенузы: .

2. Если v0⊥v, то треугольник скоростей состоит из двух равнобедренных треугольников, следовательно, скорость v0 направлена по биссектрисе угла, образованного вертикалью и вектором s.

Площадь треугольника скоростей можно выразить как .

Для примера разберем задачу:

С поверхности земли под углом к горизонту бросают камень. Через время τ он падает на поверхность холма, причём со скоростью, перпендикулярной начальной. Чему равно расстояние между точками броска и приземления? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Рассмотрим треугольник скоростей. Скорости в начале и в конце полёта перпендикулярны ⇒ имеем прямоугольный треугольник. Медиана  равна половине гипотенузы ⇒  .

Ответ: .

Предлагаем решить следующие задачи (источники указаны рядом с номером).

1. Козел, Слободянин 9.62

Кот Леопольд сидел у края крыши. Два озорных мышонка выстрелили в него камнем из рогатки. Камень, описав дугу, упал у ног кота через время τ = 1 c. На каком расстоянии от мышей находился кот Леопольд, если векторы скоростей камня в момент выстрела и в момент падения были взаимно перпендикулярны?

2. Козел, Слободянин 9.71

Кот Леопольд стоял у края крыши сарая. Два озорных мышонка выстрелили в него камнем из рогатки. Однако камень, описав дугу, через t1 = 1,2 с упруго отразился от наклонного ската крыши сарая у самых лап кота и через t2 = 1,0 с попал в лапу стрелявшего мышонка. На каком расстоянии s от мышей находился кот Леопольд?

3. Савченко 1.3.17

В прямоугольной коробке, упруго ударяясь о дно и правую стенку, по одной траектории туда и обратно прыгает шарик. Промежуток времени между ударами о дно и стенку равен Δt. Дно коробки образует угол α с горизонтом. Найдите скорости шарика сразу же после ударов.

4. Савченко 1.3.10

Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью u. В неё бросил камень неопытный «охотник», причём бросок был сделан без упреждения, т.е. в момент броска скорость камня v была направлена как раз на утку под углом α к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень все же попал в нее?

Дополнительно рекомендуем следующие источники:

1. Д.А. Александров. Векторные уравнения в кинематике, Квант, 1991, №2