2017-03-21 23:29:00
Тема «электрический ток» (постоянный и переменный) является неотъемлемой частью любой олимпиады по физике для школьников 10-11 классов. Прелесть этой темы для составителей олимпиад заключается не только в обширности её содержания, но и в возможности лаконично выстроить условие и решение задачи и чётко определить критерии оценивания, тем самым облегчая дальнейшую проверку.
В этой статье мы поговорим о наиболее простых электрических цепях, т.е. цепях постоянного тока без нелинейного элемента. Посвящённый им раздел включает в себя достаточно много однотипных задач, которые тем не менее часто встречаются в различных олимпиадах по физике. В связи с этим сегодня мы рассмотрим два возможных метода решения подобных задач и представим примеры использования упомянутых методов на практике.
1. ПОСТОЯННЫЙ ТОК БЕЗ НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА
1.1. ЗАКОН ОМА И ПРАВИЛА КИРХГОФА
Для расчёта линейных цепей очень удобно использовать закон Ома. Для однородного участка цепи он соотносит силу тока I, напряжение U и сопротивление участка R:
\(I = {U \over R}\)
Для замкнутой цепи, содержащей источник тока с ЭДС ε и характеризующейся внутренним сопротивлением источника r и сопротивлением всей цепи R, закон Ома принимает вид:
\(I = {ε \over R \ + \ r}\)
Эти формулы хорошо известны всем школьникам, которые посещали уроки физики. Там же выводились формулы для суммарных силы тока, сопротивления и напряжения, применяемые при наличии двух однородных участков цепи, соединённых параллельно и последовательно (если читатель их забыл, то он запросто сможет вывести их самостоятельно).
Названные выражения очень полезны, когда мы рассматриваем несложные цепи, где нет узлов. Но что же делать, если цепь разветвлённая и узлы всё-таки есть? Для этого случая существуют правила Кирхгофа, которые являются обобщением закона Ома.
1. Алгебраическая сумма токов, входящих в узел и выходящих из него, равна нулю.
Когда мы записываем такую сумму, входящие токи мы берем со знаком «+», а выходящие со знаком «-».
Рис. 1.
Например, на рисунке 1 видно, что токи 1 и 2 втекают в узел, а токи 3 и 4 вытекают из него, поэтому их алгебраическая сумма запишется как I1 + I2 - I3 - I4 = 0.
2. Алгебраическая сумма значений, полученных для каждого конкретного участка внутри замкнутого контура цепи из произведения тока на сопротивление, равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре.
Рис. 2.
Рассмотрим треугольный контур, изображённый на рисунке 2. Круговая стрелка в центре указывает, по какому направлению мы обходим этот контур (в данном случае по часовой).
От выбора пути обхода зависит, как вы расставляете знаки:
Если некоторый источник ЭДС создаёт ток, направление которого совпадает с направлением обхода контура, то эта ЭДС берется со знаком «+». Если наоборот – со знаком «-».
Тогда, когда направление тока, протекающего через резистор, совпадает с направлением обхода, падение напряжения (произведение сопротивления на силу тока) пишется со знаком «+», в противном случае – со знаком «-».
Для используемой нами схемы второе правило Кирхгофа будет выглядеть так:
ε1 + ε2 + ε3 = I1R1 + I2R2 + I3R3
Как видите, ничего сложного. Чтобы проиллюстрировать действие вышеприведённых правил на конкретном примере, давайте решим следующую задачу:
Рис. 3.
Собственно, всё условие изображено на картинке. Нужно найти значения токов I1, I2, I3 (направления выбраны произвольно).
Рассмотрим верхний узел (над резистором 2R). Для него первое правило Кирхгофа принимает вид: I1 - I2 - I3 = 0 (1). Это будет первое уравнение нашей системы. Поскольку неизвестных величин всего три, нужно ещё два уравнения.
Возьмём два любых контура цепи, например контуры ABFGA и BCDFB.
Рис. 4. Первая задача, пояснение к решению
Второе правило Кирхгофа для контура ABFGA:
- ε + ε = I2R - 2I3R (2)
(Представляем, что других источников ЭДС, кроме того, который находится рядом с буквой G, нет. Тогда производимая им ЭДС создаст ток, текущий от плюса к минусу, т.е. по часовой стрелке. При этом направление обхода мы выбрали против часовой, значит, величина ЭДС берётся здесь со знаком «-».
В случае же с ЭДС, которая обозначена буквой E, стоящей рядом с F, направление создаваемого ЭДС тока совпадает с направлением обхода, поэтому её величина берётся со знаком «+».
Тот же принцип касательно падений напряжений: для резистора R ток, протекающий через него, совпадает по направлению с путём обхода, а для резистора 2R наоборот, поэтому падение напряжения на первом взято со знаком «+», а на втором со знаком «-»).
Второе правило Кирхгофа для контура BCDFB:
- ε + 2ε = I1R - 2I3R (3)
(рассуждения совершенно аналогичны).
Ура! Мы получили три уравнения (для трёх неизвестных), из которых складывается решаемая система. Делая элементарные преобразования, получаем следующие значения токов (читатель при желании может легко нас проверить):
\(I_1 = {3ε \over 5R}\); \(I_2 = {2ε \over 5R}\); \(I_3 = {ε \over 5R}\).
Получается, с помощью правил Кирхгофа можно решать задачи на цепи любой сложности. Ведь если у нас большая цепь, которая содержит в себе 10 различных токов, то достаточно «всего лишь» составить систему из десяти уравнений, провести несложные вычисления и прийти к результату…
Постойте, десять уравнений?! Это при том, что я, будучи на олимпиаде, уже потратил(а) полтора часа на задачи по динамике и молекулярке, а у меня впереди ещё на электродинамику, колебания и оптику, и плюс ко всему нужно всё проверить и оформить?
Рис. 5.
Без паники! Олимпиадников, к большому счастью, нисколько не ограничивают в выборе используемого метода решения (можете хоть придумать свой собственный, если он будет обоснован и позволит сделать верные выводы). Поэтому сегодня мы рассмотрим красивый, наглядный метод решения задач на электрические цепи любой сложности, который приведёт к правильному ответу гораздо быстрее, чем правила Кирхгофа.
1.2. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Суть этого метода заключается в том, что потенциал определённого узла (одного, всех или нескольких – зависит от задачи) принимается за некий параметр, который нужно найти. Через этот потенциал либо выражается какая-то известная величина (например, ЭДС батареи), либо описываются токи. Давайте решим ту же самую задачу при помощи подобного способа.
Рис. 6.
Примем потенциал всего нижнего проводника за 0 (имеем право так сделать, во-первых, в силу того, что это позволяет само определение потенциала, а во-вторых, потому, что в нижней части схемы нет падений напряжения). При переходе через источник тока от отрицательного полюса к положительному потенциал возрастёт на величину ЭДС источника и обретёт новое значение. Приравнять же к 0 потенциал, проходящий через резистор, мы не имеем право, ведь мы не знаем, какой ток здесь течёт!
Нам понадобится некая переменная, через которую мы всё выразим. Обозначим потенциал всего проводника в верхней части схемы за \(\varphi\) (имеем право так сделать по причинам, аналогичным тем, которые мы указали для нижнего проводника). Теперь мы можем выразить разность потенциалов для каждого из резисторов, и, следовательно, токи, которые через них текут. Получается, что:
\(I_1 = {2ε \ - \ ϕ \over R}\); \(I_2 = {ϕ \ - \ ε\over R}\); \(I_3 = {ϕ \ - \ ε\over 2R}\) (1)
I1 втекает в верхний узел, а I2 и I3 вытекают из него, значит:
I1 = I2 + I3 (2)
(да-да, по факту это первое правило Кирхгофа, но в то же время это - очевидное следствие закона сохранения заряда, который, на наш взгляд, гораздо полезнее!)
С помощью уравнений (1) и (2) составляем равенство:
\({2ε \ - \ ϕ \over R} = {ϕ \ - \ ε\over R} + {ϕ \ - \ ε\over 2R}\) (3),
откуда получаем \(ϕ = {7 \over 5ε}\).
Теперь просто подставляем это значение в выражения для токов:
\(I_1 = {3ε \over 5R}\); \(I_2 = {2ε \over 5R}\); \(I_3 = {ε \over 5R}\).
Всё!
При этом наше решение получилось достаточно громоздким, потому что мы расписывали многое из того, что на олимпиаде можно пропустить. В действительности же большого рисунка, на котором расставлены потенциалы, выражения вроде (3), и верного ответа достаточно, чтобы вам поставили максимальный балл.
ВАЖНО: в кодификаторе ЕГЭ нет метода узловых потенциалов. Когда вы сдаёте этот экзамен, вы имеете право оперировать только законом Ома и правилами Кирхгофа. Это не означает, что вы должны решать задачу с их помощью, – просто когда будете оформлять решение, нужно будет обязательно сослаться именно на правила Кирхгофа и закон Ома.
В заключение отметим, что задачи на тему «электрический ток» можно найти в различных вариантах олимпиад по физике прошлых лет, в том числе в тех, которые встречались на двух последних этапах ВОШ. Вдобавок будет полезно посмотреть задачи в таких пособиях, как «Сборник задач по общему курсу физики» В.С. Волькенштейн, «Сборник вопросов и задач по физике» Н.И. Гольдфарба.
2. ЗАДАЧИ НА МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
№ 1.
Рис. 1.
Найти силу тока, текущего через резистор 2R:
А) \(ε \over R\)
Б) \(ε \over 2R\)
В) \(2ε \over R\)
Г) \(15ε \over 2R\)
№ 2.
Рис. 2.
Найти величину силы тока I:
А) \(ε \over R\)
Б) \(ε \over 6R\)
В) \(5ε \over 3R\)
Г) \(5ε \over 6R\)
№ 3.
Рис. 3. (цепь взята из олимпиадной задачи: Всеросс, 9 класс, 2006)
Найдите показания амперметра:
А) \(U \over R\)
Б) \(5U \over 4R\)
В) \(2U \over 5R\)
Г) \(13U \over 27R\)
