Метод контурных токов

Цепи постоянного тока.

В любой олимпиаде цепи постоянного и переменного тока встречаются очень часто, поэтому важно научиться решать связанные с ними задачи быстро и эффективно. Существует несколько методов, позволяющих сократить количество уравнений, получаемое при применении правил Кирхгофа и закона Ома. Один из таких методов – метод контурных токов, он и описывается ниже.

 

Метод контурных токов.

При использовании метода контурных токов электрическая схема условно делится на несколько замкнутых контуров. Затем в каждом контуре вводится своя сила тока, и определяются все нужные характеристики электрической схемы.

Для получения наиболее полного представления о методе контурных токов и его преимуществах решим задачу, воспользовавшись сначала правилами Кирхгофа, а потом – методом контурных токов.

Найдем токи во всех резисторах.

 

1) При помощи правил Кирхгофа.

Обозначим по-разному токи во всех частях схемы.

 Теперь воспользуемся правилами Кирхгофа и законом Ома для нахождения токов.

 

\(I_5=I_1+I_3\)                                                                                                                         (1)

\(I_2+I_3=I_4\)                                                                                                                         (2)

 

\(I_4=I_5+I_6\)                                                                                                                         (3)

\(I_6+I_1=I_2\)                                                                                                                                        (4)

 

\(E+2E=I_6 \cdot 4R\)                                                                                                               (5)

 

\(E+2E=I_5 \cdot 3R+I_1 \cdot R\)                                                                                               (6)

 

\(2E=3R \cdot I_5+2R \cdot I_3\)                                                                                                      (7)

 

Для нахождения 6 неизвестных токов потребуется 6 уравнений – уравнения (1) – (4) получены из первого правила Кирхгофа о токах в узлах (сумма входящих токов равна сумме выходящих), уравнения (5) и (7) получены из второго правила Кирхгофа (в замкнутом контуре сумма падений напряжения на элементах равна сумме ЭДС).

Решим уравнения и найдем все нужные токи.

 

\((5) ⇒I_6= {3E \over 4R}\)                                                                                                                   (8)

 

\((6)+(7)⇒ {9 \over 2} I_5+I_1+I_3= {4E \over R}\)                                                                                  (9)

 

\((9) + (1) ⇒I_5= {8E \over 11R}\)                                                                                                      (10)            

 

\(I_4= {3E \over 4R} +{8E \over 11R} ={65E \over 44R}\)                                                                                                      (11)

 

\((7)⇒I_3= {E \over R}- {3 \over 2} I_5= {-E \over 11R}\)                                                                                           (12)

 

\((6)⇒I_1= {3E \over R} -3I_5= {9E \over 11R}\)                                                                                          (13)

 

Таким образом, мы нашли токи через все резисторы (токи с индексами 1, 3, 5, 6).

 

2) При помощи метода контурных токов.

Разделим электрическую схему на 3 контура, “пустим” по каждому из них свой ток, воспользуемся вторым правилом Кирхгофа для всех 3-х контуров, учитывая, что через резистор 2R проходит ток I1-I2.

 

\(I1:I_1 \cdot R+ (I_1-I_2) \cdot 2R=-E\)                                                                                (14)

 

\(I2:I_2 \cdot 3R+(I_2-I_1) \cdot 2R=-2E\)                                                                            (15)

 

\(I3:4R \cdot I_3=2E+E\)                                                                                                     (16)

 

Сразу найдем ток в третьем контуре из уравнения (16):

\(I_3= {3E \over 4R}\)                                                                                                                              (17)

Теперь решим систему уравнений (14) – (15):

\(3I_1 \cdot R-4I_2 \cdot R=-E\)                                                                                                  (18)

 

\(5I_2 \cdot R-2I_1 \cdot R=-2E\)                                                                                                (19)

 

\((18), (19)⇒I_2= {-8E \over 11R}, \ I_1= {-9E \over 11R}\)                                                                             (20)

Таким образом, мы нашли токи во всех контурах, а значит, и в резисторах R, 3R, 4R. Через резистор 2R проходит ток, равный

\(I_1-I_2={-E \over 11R}\)                                                                                                                   (21)

 

Как видим, метод контурных токов позволил уменьшить количество уравнений в 2 раза. Описанный метод очень эффективен при расчете линейных цепей.