2017-04-28 14:45:50
Кинематические связи – уравнения, связывающие между собой кинематические характеристики (координата, скорость, ускорение) тел системы.
Зачастую связи между кинематическими характеристиками различных тел системы возникают благодаря замене реальных тел на физические модели. Физическая модель – это упрощенная версия некоторого явления или тела, которая сохраняет свойства этого явления или тела, исследуемые в данной задаче.
Разберем наиболее распространенные физические модели и кинематические связи, появляющиеся при их использовании.
1. Модель абсолютно твердого тела (АТТ).
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между 
любыми двумя точками которого постоянно. Надо понимать, что указанное свойство присуще абсолютно твердому телу всегда, независимо от взаимодействия его с другими телами и от способа движения этого тела. Поэтому если мы рассмотрим две произвольные точки АТТ \(A\) и \(B\), то в любой момент времени проекции скоростей этих точек \(V_{A'x}\) и \(V_{B'x}\) на ось \(x\), соединяющую \(A\) и \(B\) (см. рисунок 1), должны быть равны друг другу, иначе точка \(B\) будет «убегать» от точки \(A\), или наоборот, точка \(A\) будет «догонять» точку \(B\), что невозможно, так как расстояние между ними остается постоянным. Таким образом, в данном случае уравнение кинематической связи связывает проекции скоростей:
\(V_{A'x}=V_{B'x} \). (1)
Если рассмотреть две оси, - \(y\) и \(z\) - перпендикулярные 
скоростям \(V_A\) и \(V_B\) точек \(A\) и \(B\) соответственно и проходящие через эти точки, и точку пересечения этих осей обозначить как \(O\) (см. рисунок 2), то, записывая аналогичные (1) уравнения кинематической связи для точек \(O\) и \(A\) на оси \(y\) и \(O\) и \(B\) на оси \(z\), получим:
\(V_{O'y}=V_{A'y}=0\), \(V_{O'z}=V_{B'z}=0.\)
Отсюда следует, что скорость точки \(O\) равна нулю: \(V_O=0\). Такой показатель скорости, а также то обстоятельство, что вокруг точки \(O\) в данный момент происходит вращение, позволяют назвать точку \(O\) мгновенным центром вращения (МЦВ) изучаемого нами тела. Стоит понимать, что с течением времени положение МЦВ в пространстве способно изменяться, и к тому же он не обязан быть одной из точек тела и может лежать вне его (например, МЦВ колеса автомобиля при торможении).
В силу того, что тело вращается вокруг точки \(O\), для описания его вращения можно использовать понятия угла поворота \(φ\), угловой скорости \(ω\) и углового ускорения \(ε\). Учитывая тот факт, что расстояние между любыми двумя точками тела постоянно, для любых двух точек \(A\) и \(B\), находящихся на одинаковом расстоянии от МЦВ, мы вправе записать:
\(V_A=V_B\), (2)
а для любых двух точек \(B\) и \(C\), лежащих на одной прямой с точкой \(O\) на расстояниях \(OB=r\) и \(OC=R\), следующее:
\(ω = {V_B \over r} = {V_C \over R}\). (3)
Выражения (2) и (3), как и предыдущие, являются уравнениями кинематической связи. Геометрическая интерпретация уравнения (3) представлена на рисунке 2: скорости и расстояния являются катетами подобных прямоугольных треугольников.
2. Нерастяжимая нить.
Нерастяжимая нить – это частный случай, разновидность абсолютно твердого тела, в которой расстояние между точками сохраняется вдоль единственного направления – контура нити. Для этой модели равными будут проекции скоростей любых двух точек \(A\) и \(B\) на направление нити в данных точках, что является следствием уравнения (1):
\(V_{A'нить}=V_{B'нить}\).
Разберем пример задачи с использованием кинематических связей.
Задача 1 («3800 задач по физике для школьников 
и поступающих в вузы», 1.90º). Тяжелый ящик перемещают с помощью двух тракторов, движущихся со скоростями \(\overrightarrow {v_1}\) и \(\overrightarrow {v_2}\), образующими угол \(α\). Как направлена и чему равна скорость ящика в тот момент, когда канаты натянуты и параллельны векторам \(\overrightarrow {v_1}\) и \(\overrightarrow {v_2}\)?
Решение задачи 1.
Точка \(O\) (см. рисунок 4) является точкой ящика, движущегося 
поступательно, поэтому для определения скорости ящика достаточно найти скорость этой точки. В то же время \(O\) - это точка обоих канатов, поэтому ее скорость \(v\) удовлетворяет двум уравнениям кинематической связи, для каждого из канатов. Введя угол \(β\) между скоростями \(v\) и \(v_1\), можно записать эти уравнения в виде:
\(\begin{cases} v_2=vcos(α-β)=v(cosα \ cosβ+sinα \ sinβ), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_1=vcosβ\\ \end{cases}\)(4)
Разделив первое уравнение системы (4) на второе, получим:
\({v_2 \over v_1} = cosα+sinα \ tgβ\), \(tgβ = {v_2/v_1- \ cosα \over sinα}\), \(v= {v_1 \over cosβ} =v_1 \sqrt {1+tg^2β}\).
Особенно важными являются задачи, в которых фигурируют системы блоков. Написание уравнения кинематической связи при их решении является нетривиальной проблемой. Рассмотрим два основных способа получения уравнения кинематической связи на примере простейшей задачи с блоками.
Задача 2 («Задачи по физике» под ред. О.Я. Савченко, 1.5.1.).
Скорость груза \(A\) (см. рисунок 5) равна \(v_A\). Чему равна скорость груза \(B\)?
Решение задачи 2.
Способ 1. Уравнение длины нити.
Введем ось \(x\), направленную, как на рисунке 6. Введем обозначения: \(x_1\) – координата подвижного блока, \(x_2\) – координата неподвижного блока, \(x_B\) – координата груза \(B\). Тогда, приняв длину зеленой нити за \(L\), рассмотрим два близких момента времени \(t\) и \(t'\) (\(t'-t=∆t→0\)) и запишем:
\(\begin{cases} L = x_1 + (x_1 - x_2) + (x_B - x_2) + πR_1 + πR_2, \\ L = {x_1^{\prime}} + ({x_1^{\prime}} - x_2) + ({x_B^{\prime}} - x_2) + πR_1 + πR_2 \\ \end{cases}\), (5)
где \(R_1\)и \(R_2\) – радиусы блоков. Вычитаем из первого уравнения системы (5) второе и делим результат на \(∆t\). Получаем:
\(0=2 {x_1' - x_1 \over ∆t} + {x_B'-x_B \over ∆t} =2v_A+v_B\). (6)
Таким образом, мы вывели уравнение кинематической связи (6) для грузов \(A\) и \(B\), где \(v_A\) и \(v_B\) – проекции скоростей грузов на ось \(x\) (то есть уравнение (6) связывает также направления скоростей грузов). Аналогичную связь можно записать и для ускорений грузов, если рассмотреть изменение скорости за некоторый период времени точно так же, как мы рассматривали изменение координаты.
Способ 2. Метод малых (виртуальных) перемещений.
Представим мысленно, что за некоторый малый промежуток времени \(∆t\) груз \(A\) сместился вниз на расстояние \(∆x\) (см. рисунок 7). Для того чтобы такое смещение произошло, вертикальные участки зеленой нити должны увеличиться на \(∆x\) справа и слева от подвижного блока. В нашей системе длина нити в левой части системы увеличилась на \(2∆x\). Из-за этого в силу нерастяжимости нити длина нити в правой части системы должна уменьшиться на \(2∆x\), а это означает, что груз \(B\) за интервал времени \(∆t\) сместится вверх на расстояние \(2∆x\). Таким образом:
\(2∆x_A=∆x_B\). (7)
Разделив обе части уравнения (7) на \(∆t\), получим:
\(2v_A=v_B\).
Мы получили уравнение кинематической связи, аналогичное уравнению (6), но в этот раз не учитывающее направление скоростей. Направление скоростей мы учли при выводе этого уравнения.
Задачи для самостоятельного решения:
1) «Задачи по физике» под редакцией О.Я. Савченко.
1.5.4, 1.5.5*, 1.5.9*, 1.5.14*, 1.5.16
2) «Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986-2005» Варламов С.Д. и др.
1.31*, 1.32*, 1.57*
3) «1001 задача по физике с решениями» Гельфгат И.М. и др.
1.53*, 1.56
Вопросы по содержанию статьи:
1) Выберите верное уравнение кинематической связи для двух 
точек АТТ, изображенного на рисунке.
I. \(V_Asinα=V_Bcosβ\).
II. \(V_Acosα=V_Bsinβ\).
III. \(V_Acosα=V_Bcosβ\).
IV. \(V_Asinα=V_Bsinβ\).
2) Где находится МЦВ колеса, движущегося горизонтально без проскальзывания?
I. \(A\).
II. \(B\).
III. \(C\).
IV. \(D\).
3) Зависит ли положение МЦВ тела в пространстве от системы отсчета, в которой мы рассматриваем движение данного тела?
I. Не зависит.
II. Зависит.
