Плоское зеркало – плоская поверхность, от которой свет только отражается.
Все лучи, которые от источника падают на зеркало, отражаются так, что продолжения этих лучей пересекаются в точке, где находится изображение.
Изображение в плоском зеркале:
• прямое, т.е. не перевернутое;
• равное (одинаковое по размеру);
• находится на пересечении продолжений лучей, а не самих лучей.
Линза – оптический прибор, состоящий из прозрачного материала и ограниченный двумя преломляющими поверхностями (обычно сферическими), имеющими общую ось.
Линза называется тонкой, если ее толщина сравнительно мала по отношению к радиусам кривизны ее поверхностей (a << R1, R2).
Главная оптическая ось (ГОО) линзы – ось, проходящая через центры кривизны ее поверхностей.
Линзы разделяют на два вида:
1) собирающие
2) рассеивающие
Собирающие линзы собирают свет, а рассеивающие его рассеивают.
В тонкой линзе точки пересечения главной оптической оси с обеими поверхностями линзы сливаются в одну точку О (оптический центр линзы). Луч, проходящий через точку О, не преломляется.
Фокусы – точки, лежащие на ГОО линзы и равноудаленные от ее центра на расстояние F.
Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно ГОО, называются фокальными.
Пучок параллельных лучей света (или их продолжения) после попадания на линзу пересечется в фокальной плоскости.
Формула тонкой линзы.
Введем параллельную ГОО ось Х координат с центром в точке О и будем считать, что ось Х будет сонаправлена ходу лучей; тогда:
\(\mathbf {{1 \over {x_{\ f}}}- {1 \over {x_{ \ d}}} = {1 \over{x_ {\ F}}}= D}\),
где \(\mathbf {x _ { \ f}}\) – координата изображения, \(\mathbf {x _ { \ d}}\) – координата предмета,
\(\mathbf {x _ { \ F}} = \begin{equation*} \begin{cases} \mathbf F,если \ линза \ положительная \\ \mathbf {- F}, если \ линза \ отрицательная \\ \end{cases} \end{equation*}\)
D – оптическая сила линзы. Оптическая сила тонких линз, сложенных вместе, равна сумме оптических сил этих линз. Линзы с D < 0 – отрицательные, с D > 0 – положительные.
Поперечное (линейное) увеличение Г – отношение поперечного размера изображения (H) к поперечному размеру предмета (h).
\(Г=± {H \over h}\) (“+” – если изображение прямое, “–” – если изображение перевернутое); из подобия треугольников \(Г= {{x_f} \over {x_d}}\) (в координатах, знак уже учтен).
Оптическая система – совокупность преломляющих, отражающих поверхностей.
Задачи
#1
За тонкой положительной линзой перпендикулярно ее ГОО расположено плоское зеркало. На линзу под углом β на расстоянии h от оптической оси падает тонкий луч света. Преломившись в линзе и отразившись в зеркале, он выходит из линзы в направлении, параллельном первоначальному, смещенным на L. Определить фокусное расстояние линзы.
Решение: т.к. преломившийся и отразившийся луч выходит параллельно первоначальному, то он должен был отразиться от зеркала в фокальной плоскости (обратимость световых лучей, параллельные лучи собираются в точке фокальной плоскости).
Построим ход лучей: преломленный луч падает на зеркало в точку пересечения фокальной плоскости (зеркала) и вспомогательного луча (падающего под углом β), проходящего через центр линзы. \(∆AO’F = ∆BO’F\) (2 угла и общая сторона), \(AO’= {AB \over 2}\), тогда \(OO’ = AO’ - AO\).
\(\mathbf F = O’F = ctg(β)OO’= ctg(β)({AB \over 2} -AO)\), \(AB = L\), \(AO = h\).
Ответ: \(\mathbf F= ({L \over 2}-h)ctg(β)\).
#2
Параллельно друг другу расположены лист миллиметровой бумаги, собирающая линза и плоское зеркало. Расстояние между линзой и зеркалом L = 6 см, фокусное расстояние линзы F = 4 см.
Система «линза + зеркало» создает на листе бумаги четкое изображение его клеток. Насколько нужно передвинуть лист бумаги, чтобы на нем снова получилось четкое изображение его клеток?
Решение: в этой оптической системе экраном будет являться сам предмет (лист бумаги). Причем в обоих случаях должна выполняться формула тонкой линзы (т.к. изображения четкие).
Рассмотрим два этапа:
1) изображение от линзы. \({1 \over x_f}- {1 \over x_d} = {1 \over F}\); (1)
2) изображение, которое дают отраженные лучи, падающие от зеркала на линзу (при отражении от зеркала лучи будут направлены в обратную сторону, вдоль оси ox’). \({1 \over x'_f} - {1 \over x'_d} = {1 \over F}\); (2)
\(x'_f=-x_d\); (3)
\(x'_d=-(2L-x_f)\); (4)
Из (1) получим \(x_f= {Fx_d \over F \ + \ x_d}\) и подставим в (4), после – (3),(4) в (2), из чего получится уравнение: \((F+x_d) (2L- {Fx_d \over F \ + \ x_d} =Fx_d\);
один из корней \(x_{d_1}=-F\);
Второй: \(x_{d_2}= {FL \over F-L}\);
Расстояние, на которое надо передвинуть: \(|x_{d_2}-x_{d_1}|= {F^2 \over L-F}=8\) см.
#3
Между зеркалом и небольшим предметом A поместили тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 10 см так, что ее главная оптическая ось перпендикулярна плоскости зеркала. Расстояние от предмета до линзы равно L. Оказалось, что если L < 3F, система «линза-зеркало-линза» дает перевернутое изображение, если же L > 3F – изображение прямое. Вычислите расстояние z от линзы до зеркала.
Решение: т.к. при L > 3F прямое, при L < 3F перевернутое, то когда L = 3F, лучи или их продолжения пересекаться не будут, т.е. изображение от зеркала будет находиться в фокусе.
Расстояние от изображения линзы до зеркала: \(x_f-L\) =>
Расстояние от изображения зеркала до линзы: \(2z-x_f=F\); \(z= {1 \over 2} (F+x_f)\) (1)
Из формулы тонкой линзы \({1 \over x_f}- {1 \over x_d} = {1 \over F}\); \(x_d=-3F\) => \(x_f= {3F \over 2}\); подставляя \(x_f\) в (1), получим:
\(\mathbf {z= {5 \over 4}F}\).
#4
Перпендикулярно ГОО тонкой положительной линзы с фокусным расстоянием F расположено плоское зеркало. Эта оптическая система создает действительное изображения предмета, находящегося по другую сторону от линзы, между линзой и ее фокусом с увеличением \(Г = {F \over x_d}\). Найти расстояние между линзой и зеркалом.
Решение: пусть высота предмета = h, высота изображения при преломлении линзой (не учитывая зеркало) = h’, при повторном преломлении (учитывая отражения от зеркала) высота изображения = H.
Тогда \(\mathbf {Г_1= -{h' \over h}}\) – увеличение при первом преломлении, при отображении в зеркале изображение и предмет равные (\(Г_{зеркало} = 1\) и ход лучей меняется, они направлены в обратную сторону); при повторном преломлении \(\mathbf {Г_2= {H \over h'}}\).
В этой оптической системе увеличение \(\mathbf {Г=- {H \over h}=Г_1 \cdot Г_2=- {H \over h'} {h' \over h}={F \over x_d}}\). (1)
\(\mathbf {Г_1= {x_f \over x_d}}\) (2)
\(\mathbf {Г_2= {x'_f \over x'_d}}\) (3)
\(x'_d=-(2z-x_f)\)(4) (знак “–” ставим из-за смены оси координат)
Применяя формулу тонкой линзы, получим: \(\mathbf {x_f={Fx_d \over F \ + \ x_d}}\) (5), \(\mathbf {x'_f= {Fx'_d \over F \ + \ x'_d}}\) (6),
подставляя 2, 3; 4, 6; 5 в 1, получим:
\({Fx_dF \over (F \ + \ x_d)x_d(F+{Fx_d \over F \ + \ x_d}-2z)}= {F \over x_d}\), откуда \(\mathbf {z= {F \over 2}}\).
Тест
1) Источник находится за собирающей линзой на фокусном расстоянии. Где будет его изображение?
-изображение перед линзой на расстоянии\(- {F \over 2}\).
- изображение за линзой на расстоянии \(F \over 2\).
- изображение за линзой на расстоянии \(F\).
- изображения не будет, лучи и их продолжения не пересекутся ∞.
2) Плоское зеркало начинает вращаться с угловой скоростью \(w\). С какой скоростью будет двигаться изображение, если неподвижный источник находится на расстоянии \(r\) от оси вращения.
- \(rw\).
- \(2rw\).
- \(4rw\).
- \(8rw\).
Ответы
