2017-03-10 16:51:25
При решении некоторых механических задач может оказаться полезным использование понятия центра масс системы материальных точек.
Центром масс системы материальных точек называется точка, характеризующая распределение масс в системе, координаты которой определяются следующими формулами:
где mi – масса отдельной материальной точки с координатами xi, yi, zi.
Та же запись в векторном виде:
Рассмотрим свойства центра масс, помогающие при решении задач:
1. Положение центра масс не изменится, если какую-то часть системы заменить точкой с массой, равной массе этой подсистемы, и находящейся в ее центре масс.
2. Скорость центра масс можно найти, взяв производную от обеих частей равенства (1)
где р – импульс системы, m – полная масса системы. Скорость центра масс замкнутой системы постоянна. То есть, если связать с центром масс поступательно движущуюся систему отсчета, то она будет инерциальной.
3. Ускорение центра масс равно производной его скорости по времени:
где в правой части равенства стоят только внешние силы. А значит, центр масс движется так, как двигалась бы воображаемая точка с массой, равной массе системы, под действием суммарной внешней силы.
4. Предположим, система точек находится в однородном поле тяжести. Тогда суммарный момент сил тяжести относительно любой оси, проходящей через центр масс, равен нулю. Это значит, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс, т. е. центр масс является центром тяжести.
5. Потенциальная энергия системы точек в однородном поле тяжести вычисляется по формуле
E = m1gh1 +…+ mNghN = mghM, где hM – высота центра масс системы.
6. Кинетическая энергия системы точек может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии общего поступательного движения системы, равной mv2M/2, и кинетической энергии Tотн движения относительно системы отсчета, связанной с центром масс:
Примеры решения задач:
Задача 1. Призма А массы m1 покоится на гладкой горизонтальной плоскости. По наклонной плоскости призмы из состояния покоя начинает перемещаться груз В массы m2. Пренебрегая размерами груза, определить перемещение призмы, когда груз переместится на расстояние l; призма составляет с горизонтом угол α = 30°.
Решение:
Внешние силы, действующие на систему: вес призмы, вес груза и нормальная реакция N плоскости (рис. б).
Теорема о движении центра масс:
Так как все силы перпендикулярны оси х, то
где Δx1 = Δs; Δx2 = Δs + l cos α.
Отсюда получаем ответ:
Задача 2. Тело 1 массой m1 может двигаться по горизонтальной направляющей. На какое расстояние переместится тело 1, когда однородный стержень 2 массой m2 и длиной l, опускаясь под действием силы тяжести, займет вертикальное положение. В начальный момент система находилась в покое.
Решение:
Выберем начало системы отсчета. Расстояние от оси Y до центра масс 1 тела обозначим X1, а до тела 2 - X2. Предположим, что при перемещении тела 2 в вертикальное положение, вся система сместится вправо на расстояние Δ, согласно теореме о сохранении положения центра масс. Координата центра масс первого тела будет равна X1 + Δ, а второго тела X2 – l/2 + Δ.
Запишем уравнение для определения центра масс всей системы для 1-го и 2-го положений.
Так как все силы перпендикулярны оси х, XC1 =XC2,
m1X1 + m2X2 = m1(X1 + Δ) + m2(X2 – l/2 + Δ).
Отсюда получаем ответ:
Дополнительно рекомендуем изучить следующий источник:
А. Черноуцан. Задачи на центр масс, Квант, 1996, №2.
