2017-02-12 19:08:00
Какую цену вы назначите, чтобы успешно провернуть сделку? Как правильно заинтересовать людей, чтобы получить максимальную выгоду? Как сделать свою компанию наиболее успешной на рынке, зная предпочтения конкурентов? На все эти вопросы может с успехом ответить теория игр.
Теория игр – одна из важнейших тем современной экономики и математики, ведь именно с помощью нее можно наиболее точно проанализировать действия людей во время переговоров и бизнес-сделок, предсказать поведение различных игроков и выбрать наиболее правильную для себя стратегию. Именно поэтому эта тема может быть интересна не только экономистам, но и людям, видящим свое будущее в дипломатии, политике, юриспруденции, рекламе. Вместе с тем, это сравнительно молодое направление в экономике, которое появилось благодаря знаменитому ученому, нобелевскому лауреату по экономике Джону Нэшу (можете посмотреть биографический фильм о нем – «Игры разума»).
В олимпиадах по экономике теория игр также играет существенную роль, и традиционно можно встретить 1-2 задачи по этой теме на заключительном этапе ВОШ. Сейчас я бы хотел рассказать вам об основах этой теории и о методах решения задач, основанных на ней.
Для начала давайте дадим несколько определений основополагающим понятиям этой теории:
Игра - процесс, в котором участвуют две и более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Стратегия - совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
Игра с нулевой суммой - игра, в которой выигрыш одного из игроков точно равен проигрышу другого.
Равновесие Нэша - набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, при условии, что другие участники не меняют своих стратегий.
В основном игры бывают с полной и неполной информацией. В реальном мире, конечно же, зачастую вы не знаете модель поведения других игроков. Однако в олимпиадной экономике эта информация известна, поэтому на данном этапе мы будем рассматривать игры с полной информацией.
Одним из видов игр являются матричные игры, то есть те игры, стратегии игроков в которых можно записать в виде матрицы. Давайте рассмотрим пример такой игры, на котором сразу станут понятны все перечисленные выше термины:
Два преступника — А и Б — попались примерно в одно и то же время на сходных преступлениях. Есть основания полагать, что они действовали по сговору, и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку: если один свидетельствует против другого, а тот хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает максимальный срок лишения свободы (10 лет). Если оба молчат, их деяние проходит по более лёгкой статье, и каждый из них приговаривается к полугоду тюрьмы. Если оба свидетельствуют друг против друга, они получают легкий срок (по 2 года). Каждый заключённый выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не знает точно, что сделает другой. Что произойдёт?
|
Сдать |
Не сдать |
|
|
Сдать |
2;2 |
0;10 |
|
Не сдать |
10;0 |
0,5;0,5 |
На первый взгляд может показаться, что они не будут сдавать друг друга, ведь в этом случае они получат минимальные сроки и быстро выйдут на свободу. Однако, давайте представим эту игру в виде матрицы.
Комментарий: в первом столбце перечислены стратегии первого заключенного, в первой строке – второго заключенного. Числа обозначают, какой срок они получат: первое число каждой стратегии – срок первого игрока, второе число – срок второго игрока. (Такое оформление матриц стандартно и общепринято)
Каждый игрок (заключенный) стремится минимизировать свой срок. Чтобы решить задачу такого типа, нужно рассмотреть реакцию второго игрока на каждую из стратегий первого. Так, если первый выберет не сдавать своего сообщника, то второй выберет «сдать», ведь 0 < 0,5. Если же первый игрок выберет стратегию «сдать», то и второй тоже ее выберет, ведь 2 < 10. Аналогично можно рассмотреть реакцию первого игрока на действия второго (они будут такими же). В иоге в данной игре заключенные выберут сдать друг друга и получат оба по 2 года. Эта стратегия (2;2) и будет равновесием Нэша, ведь каждому игроку не выгодно от нее отклоняться. Можно заметить, что стратегия (0,5;0,5) была выгоднее для обоих игроков (то есть Парето-оптимальной), однако каждому из игроков выгодно отклониться от нее в надежде не получить срока вообще.
Задача, приведенная выше, является одной из основных задач теории игр и называется «дилеммой заключенного». Если вы продолжите изучать эту теорию уже вне олимпиадной экономики, то еще не раз о ней услышите.
Следует также различать чистые и смешанные стратегии:
Чистая стратегия – определенная реакция игрока на возможные варианты поведения других игроков.
Смешанная стратегия – вероятностная (не определенная точно) реакция игрока на поведение других игроков.
Для наглядности давайте сыграем с вами в одну игру. Допустим, Вы пытаетесь укрыться в одном из множества убежищ на поле, а я летаю на бомбардировщике и пытаюсь сбросить на Вас бомбу. Моей задачей является угадать, в каком убежище Вы укрылись. Вашей задачей становится сделать так, чтобы моя догадка оказалась неверной. Первой идей станет спрятаться в самом надежном убежище. Догадываясь об этом, я попытаюсь сбросить бомбу именно туда. Это будет моей чистой стратегией. Если Вы подумаете дальше, то не будете укрываться в лучшем убежище, а попытаетесь укрыться во втором по надежности. Это станет Вашей чистой стратегией в ответ на мою догадку. Если Вы достаточно умны, то не будете придерживаться определённой чистой стратегии, а прибегнете к помощи случайности: выберете убежища, которые дают максимальный суммарный шанс выжить, а потом выберете одно, подбросив монетку. Это и будет смешанной стратегией, которая наиболее выгодна в этой игре.
Как вы могли заметить, приведенные выше задачи не очень трудные и вряд ли встретятся вам на олимпиадах, поэтому я хотел бы рассказать вам еще об одном эффективном методе решения задач по теории игр – построении дерева решений. Почему этот метод эффективен? Потому что дерево решений позволяет визуально и аналитически оценить результаты выбора различных решений и используется в области статистики и анализа данных для прогнозных моделей.
Давайте решим одну из задач, используя этот метод.
Задача «Голодные Львы» в приложении 1
В этой задаче есть два игрока, принимающих решения: первый лев и второй, - и решения они принимают последовательно (а не одновременно, что очень важно), следовательно, мы можем построить дерево решений: 
(Первым идет положение после игры первого льва, вторым – второго)
Если первый лев учитывает действия второго льва, то он отпустит косулю, ведь остаться в живых и быть голодным лучше, чем быть сытым, но мертвым. Без построения такого дерева нам было трудно понять это сразу.
Теперь попробуйте сами построить деревья решений к остальным пунктам задачи, учитывая, что там появляются новые игроки, которые тоже могут принимать решения.
Если у вас получилось все правильно, то во втором пункте первый лев съест косулю, потому что он знает, что второй лев его есть не будет, иначе он погибнет сам. В третьем пункте первый лев снова отпустит косулю, ведь уже гарантии его неприкосновенности не будет (так как третьего льва может съесть четвертый). В общем же виде можно заметить, что при четном количестве N львов первый лев будет отпускать косулю, а при нечетном съедать.
По такому принципу решается большинство качественных задач, основанных на теории игр: вы определяете порядок принятия решений игроками, делаете такое дерево решений и смотрите, какой исход наиболее благоприятен для первого.
На теорию игр существуют не только качественные, но и количественные задачи. Метод их решения не сильно отличается от решения качественных задач, кроме того, что в количественных задачах очень трудно построить дерево решений из-за слишком большого количества стратегий каждого игрока (обычно эти стратегии описываются уравнениями). Давайте разберем одну из таких задач.
Задача «Феодал и крестьянин» в приложении 2
В ней описываются функции полезности крестьянина и феодала. Кроме того, дается порядок принятия решений игроками:
Чтобы правильно решить такого типа задачу, ее нужно решать с конца методом обратной индукции. Как и в задаче со львами, феодал (игрок, первый принимающий решение) должен учесть все возможные решения крестьянина. Крестьянин же выбирает только уровень усилий e, а остальные переменные для него являются константами (на них он не влияет), поэтому мы можем максимизировать функцию U(e). Для этого либо приравняем производную к нулю, либо найдем вершину параболы (так как эта функция представляет собой параболу с ветвями вниз). Далее, выразив значение е через другие переменные, мы можем подставить его в функцию полезности феодала и уже максимизировать ее аналогичным образом (ее мы максимизируем по t, так как феодал влияет только на ставку налога). В итоге мы получим t(Z) и e(t), которые можно легко преобразовать в e(Z), что и просится в задании. Для дальнейшего решения уже не требуется знать основ теории игр, а просто обладать навыками исследования функций (см. приложения 3-4).
Таким образом, Теория игр является крайне интересной сферой. Поняв основы этой сферы, можно с легкостью решать любые задачи, где есть взаимодействие игроков, не только в экономике, но и в жизни.
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Источники
