Неравенство Бернулли

 2017-06-30 22:23:08      

Назад ко всем статьям

Теоретическая часть.

Неравенства являются одним из самых главных разделов олимпиадной математики. На различных олимпиадах всегда найдется одна задача ровно на неравенства и еще парочка, где их нужно как-то косвенно использовать. Поэтому сейчас хочется поговорить именно о них.

Существует много интересных неравенств, но мы остановимся на наиболее важных.

Итак, неравенство Бернулли. Чрезвычайно полезное в решении разных олимпиадных задач неравенство, позволяющее оценивать ваше выражение, представленное в виде многочлена \(n\)-ой степени многочленов первой.

Оно формулируется следующим образом:

При любом натуральном \(n\) и любом \(x > -1\) имеет место неравенство Бернулли:

         \((1 + x)^n  ≥ 1 + nx\);

Доказательство:

Докажем это неравенство методом математической индукции.

         База.

                 При \(n = 1\) неравенство, очевидно, верно.

         Предположение.

                 Пусть это неравенство верно при \(n\).

         Переход.

            Докажем это неравенство для \(n + 1\). Для этого умножим обе части нашего неравенства  \((1 + x)^n ≥ 1 + nx\) на положительную скобку \((1 + x)\). Она положительна, так как \(x\) удовлетворяет условию \(x > -1\). Тогда наше неравенство преобразится в:

\((1 + x)^{n + 1} = (1 + x)^n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx^2 + nx + x > 1 + nx + x = 1 + (n + 1)x\);

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Мы рассматривали неравенство только для натуральных \(n\), но можно сформулировать и обобщенное неравенство Бернулли.

Неравенство утверждает, что при \(x > -1\) и любом вещественном \(n\):

  1. Если \(n ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞)\), то \((1 + x)^n≥ 1 + nx\);
  2. Если \(n ∈ (0; 1)\), то \((1 + x)^n≤ 1 + nx\);

Доказать это обобщенное неравенство предоставляется читателю.

Данное неравенство очень часто используется как вспомогательный инструмент в решении задач.

Практика.

Посмотрим, как поможет нам это неравенство в решении задач. Разберем задание с отборочного этапа довольно популярной олимпиады «Покори Воробьевы Горы».

Задача:

               Решить уравнение в вещественных числах: \(\sqrt[4]{1-x} \ + \sqrt[4]{1+x} = 4\).

Решение:

        Применим к левой части уравнения обобщенное неравенство Бернулли для каждого из слагаемых. Получим:

\(4 = \sqrt[4]{1-x} \ + \sqrt[4]{1+x} ≤ 1 - {1 \over 4}x + 1 + {1 \over 4}x = 2\).

Получили противоречивый результат \(4 ≤ 2\). Полученное доказывает, что у этого уравнения нет вещественных решений.

Ответ: действительных корней нет.

Такое вот получилось короткое и очень простое решение с помощью неравенства Бернулли.


Рассмотрим еще одно задание, которое когда-то было на олимпиаде «Ломоносов», кажется, тоже на отборочном этапе.

Задача:

              Доказать неравенство:  \(({n^2 \over n^2 - 1})^n < {n \over n-1}\), где \(n > 1\) и натуральное;

Доказательство:

     Посмотрим на представленное неравенство. Поначалу не совсем понятно, как к нему подступиться и что использовать для его доказательства. Но давайте попробуем просто «перевернуть» выражение.

Итак, получим: \(({n^2 - 1 \over n^2})^n > {n-1 \over n}\);

После такого легкого преобразования мы можем разбить наши дроби на очень хорошие суммы.

Итак, эквивалентное неравенство: \((1 - {1 \over n^2})^n > 1 - {1 \over n}\);

Но это неравенство и является неравенством Бернулли для левой части доказываемого. В итоге мы доказали необходимое.

Задача решена.

Важный вывод из статьи.

Неравенство Бернулли часто недооценивается школьниками, на чем регулярно и «играют» составители олимпиадных задач. Поэтому я бы посоветовал повторить это замечательное неравенство перед тем, как идти на олимпиаду.

 

Немного задач для самостоятельного решения.

  1. Доказать обобщенное неравенство Бернулли (см. замечание).
  2. Пусть натуральное число \(n ≥ 2\). Доказать, что \(n^n > (n + 1)^{n - 1}\)
  3. Пусть \(n\)натуральное число.  Доказать, что \((1 + {1 \over n})^n < (1 + {1 \over n \ + \ 1})^{n + 1}\).
  4. Пусть натуральное число \(n ≥ 3\). Доказать, что \(\sqrt[n]{n} > \sqrt[n+1]{n + 1}\).

  5. Пусть \(n\)натуральное число.  Доказать, что \((1 + {1 \over n})^{n + 1} > (1 + {1 \over n \ + \ 1})^{n + 2}\).